线性代数知识点
前言
大一上就给我上强度，真是。
线代真是杂得很。和高数真是完全不一样的风情。
以下是正文：
1 行列式
1.1 排列
1.1.1 排列定义
由自然数$1,2,\cdots,n$按一定次序排成的数组称为一个$n$元排列，记为$p_1 p_2 \cdots p_n$。
1.1.2 逆序数
一个排列中，大的数在校的数前面有序对的个数，称为这个排列的逆序数，记作$\tau(a_1 a_2 \cdots a_n)$
1.1.3 奇偶排列
逆序对为奇数的排列被称为奇排列，逆序对为偶数的排列被称为偶排列。
1.2 行列式的基础性质
1.2.1 2阶及3阶行列式的计算
略
1.2.2 n阶行列式的定义
1.2.3 行列式的3种变形
- 对换行列式的$i,j$两行（或列），记作$r_i\leftrightarrow r_j$（或$c_i\leftrightarrow c_j$）。
- 从行列式的第$i$行（或列）提出公因子$k$，记作$r_i\div k$（或$c_i \div k$）。
- 把行列式的第$j$行（或列）的$k$倍加到第$i$行（或列）上，记作$r_i+kr_j$（或$c_i+kc_j$）。
1.2.4 行列式的其他性质
行列式转置后仍然不变。即$D=D^T$
1.2.5 特殊的行列式
1.2.5.1 上、下三角行列式
1.2.5.2 范德蒙德行列式
1.3 行列式的展开
1.3.1 行列式按单行（或列）展开
1.3.1.1 余子式和代数余子式
在$n$阶行列式$D$中，划去$a_{ij}$所在的第$i$行和第$j$列，余下的元素按原来的顺序构成一个$n-1$阶行列式，记作$M_{ij}$，称为元素$a_{ij}$的余子式。
记$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，称$A_{ij}$为元素$a_{ij}$的代数余子式。
1.3.1.2 行列式展开的定理
按行展开：$D=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ik}A_{ik}$，其中$k=1,2,\cdots,n$。
按列展开：$D=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ki}A_{ki}$，其中$k=1,2,\cdots,n$。
1.3.2 行列式多行多列展开（拉普拉斯定理）
1.3.2.1 更广义的余子式和代数余子式的定义
- $k$阶子式：在$n$阶行列式$D$中，任取$k$行$k$列，其交点处的$k^2$个元素按原来的相对位置构成一个$k$阶行列式$M$，称为行列式$D$的一个$k$阶子式。
- $k$阶子式的余子式：在$D$中划去取出该子式的对应的$k$行$k$列，剩下的$n-k$阶行列式$M^{\ast}$，称为$k$阶子式的余子式。
- $k$阶子式的代数余子式：设$k$阶子式所在$D$中的行号与列号分别为$i_1,i_2,\cdots,i_k$和$j_1,j_2,\cdots,j_k$（tips:不是$k^2$个元素的行号和列号和），则$(-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots+j_k}M^{\ast}$称为$M$的代数余子式。
1.3.2.2 拉普拉斯定理
先任选并选定$k$行（或列），再枚举所有$k$列（或行）的取法（即$n$中选$k$，共$C_n^k$种），对于这样选出的$C^k_n$个子式$M_1,M_2,\cdots,M_{C_n^k}$和$C_n^k$个对应的代数余子式$A_1,A_2,\cdots,A_{C_n^k}$有：
$D=\sum\limits^{C_n^k}_{i=1}M_iA_i$
1.3.2.3 特殊的多行多列展开
按后面分块矩阵的写法$det(\begin{matrix} A & 0 \\ C & B\end{matrix})=det(A)det(B)$，$A,B$均为方阵。
1.4 行列式的计算
- 2阶或3阶的直接算。
- 先运用3种变形处理。
- 综合运用：
- 行列式按行列展开降低阶数；
- 化为上下三角行列式；
- 化为范德蒙德行列式等已有结论的行列式。
1.5 行列式的应用（克拉默法则）
设含有$n$个未知量$x_1,x_2,\cdots,x_n$的$n$个方程的线性方程组为：
记其系数行列式为$D=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\
\end{array}\right|$
若方程组的系数行列式$D\neq 0$则方程组有唯一解$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\cdots,x_n=\frac{D_n}{D}$。
其中
这个法则在后面的线性方程组的学习中会更深入。
2 矩阵基础
2.1 特殊矩阵
- 对角矩阵$\Lambda =diag(a_1,a_2,…,a_n)=
\begin{pmatrix}
a_1 & & &\\
& a_2 & &\\
& & \ddots &\\
& & & a_n
\end{pmatrix}$ - 上、下三角矩阵
- 单位矩阵$E=\begin{pmatrix}
1 & & &\\
& 1 & &\\
& & \ddots &\\
& & & 1
\end{pmatrix}$，数量矩阵$kE$ - 零矩阵$0$
- 行矩阵（行向量）、列矩阵（列向量）
2.2 矩阵与行列式
有$n$阶方阵$A=(a_{ij})$的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）称为方阵$A$的行列式。记作$\left| A \right|$或$det A$或$det(a_{ij})$。
即
性质：
- $\left| A\right| = \left| A^T\right|$
- $\left| \lambda A\right| = \lambda^n\left| A\right|$
- $\left| AB\right| = \left| A\right| \left| B\right|$
2.3 矩阵基本运算
2.3.1 矩阵的加法（减法）和乘法
略
2.3.2 矩阵转置
矩阵$A$的转置，记为$A^T$。
2.3.2.1 矩阵转置的性质
关于转置的性质有：
- $(A^T)^T=A$
- $(A+B)^T=A^T+B^T$
- $(kA)^T=kA^T$
- $(AB)^T=B^TA^T$ （tips：并不是$A^TB^T$）
2.3.2.2 对称矩阵
定义$A^T=A$的矩阵为对称矩阵。
性质：$A^T=T \iff AB=BA$
2.4 分块矩阵
原则：只要子矩阵能够进行运算那就行。
其他略。
2.5 初等矩阵和矩阵的初等变换
2.5.1 矩阵的三种初等行（列）变换
- 交换矩阵的两行（或列），如交换$i,j$两行，记作$r_i\leftrightarrow r_j$（或$c_i \leftrightarrow c_j$）。
- 以一个非零数$k$乘矩阵的某行，如将数$k$乘第$i$行（或列），记作$kr_i$（或$kc_i$）。
- 把矩阵某一行的$k$倍加到另一行（或列），如将第$j$行（或列）乘$k$加到第$i$行（或列），记作$r_i+kr_j$（或$c_i+kc_j$）。
2.5.2 矩阵的等价
若矩阵$A$经过有限次初等变换变成矩阵$B$，则称矩阵$A$与矩阵$B$等价，记作$A\sim B$。
符合如下性质：
- $A\sim A$。
- 若$A\sim B$，则$B\sim A$。
- 若$A\sim B,B\sim C$，则$A\sim C$。
2.5.3 初等矩阵及其与初等变换的关系
2.5.3.1 初等矩阵
对单位矩阵$E$进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
- $E$交换$i,j$行（列）的得到的矩阵记为$E(i\leftrightarrow j)=\begin{pmatrix}
1 & & & & & & & & & & \\
& \ddots & & & & & & & & & \\
& & 1 & & & & & & & & \\
& & & 0 & & \cdots & & 1 & & & \\
& & & & 1 & & & & & & \\
& & & \vdots & & \ddots & & \vdots & & & \\
& & & & & & 1 & & & & \\
& & & 1 & & \cdots & & 0 & & & \\
& & & & & & & & 1 & & \\
& & & & & & & & & \ddots & \\
& & & & & & & & & & 1 \\
\end{pmatrix}$ - $E$的第$i$行（列）乘非零常数$k$得到的矩阵记为$E(i(k))=\begin{pmatrix}
1 & & & & & & \\
& \ddots & & & & & \\
& & 1 & & & & \\
& & & k & & & \\
& & & & 1 & & \\
& & & & & \ddots & \\
& & & & & & 1 \\
\end{pmatrix}$ - $E$的第$j$行乘数$k$加到第$i$行上（或$E$的第$i$列乘数$k$加到第$j$列上）得到的矩阵记为$E(i+j(k))=\begin{pmatrix}
1 & & & & & & \\
& \ddots & & & & & \\
& & 1 & \cdots & k & & \\
& & & \ddots & \vdots & & \\
& & & & 1 & & \\
& & & & & \ddots & \\
& & & & & & 1 \\
\end{pmatrix}$
性质：因为是初等变换来的，所以这些矩阵都是可逆的。
2.5.3.2 初等矩阵与初等变换的等价性
$A$是一个$m\times n$矩阵，对$A$施行一次初等行（列）变换，相当于用一个相应的$m(n)$初等矩阵左（右）乘$A$。
2.5.4 行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形
对任意一个矩阵只做初等行变换可以得到行阶梯形矩阵、行最简形矩阵。
行阶梯形矩阵的特点是：
- 零行位于非零行下方
- 各非零行的首非零元（左起第一个非零元）只出现在上一行非零元的右边。
- 即$\begin{pmatrix}
X & X & X & X \\
0 & X & X & X \\
0 & 0 & 0 & X \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$是行阶梯形矩阵，而$\begin{pmatrix}
X & X & X & X \\
0 & X & X & X \\
0 & X & X & X \\
0 & 0 & 0 & X
\end{pmatrix}$不是。
行最简形矩阵，是更进一步的行阶梯形矩阵，特点是：
- 各非零行的首非零元都是1
- 各个首非零元所在列的其他元素都是0
标准形：任何一个矩阵$A_{m\times n}$，都可以经过有限次初等变换（可能行和列初等变换都需要），化为标准形
2.6 矩阵求逆（奇异矩阵）
对于方阵$A$，若存在方阵使得$B$使得$AB=BA=E$，则称$A$为可逆矩阵，$B$为$A$的逆矩阵，记作$A^{-1}$。
可逆的矩阵也被称作非奇异矩阵，不可逆矩阵被称作奇异矩阵。
2.6.1 矩阵的逆存在的条件
- $\left| A\right| \neq 0$
- $A$可以被表示称若干个初等矩阵的乘积，或者说$A$可以通过初等变换转换为单位矩阵$E$，又或者说$A$的标准形是$E$。
- $r(A)=n$，见（4 向量与矩阵的秩）。
2.6.2 矩阵逆的性质
- 若$A$可逆，$AA^{-1}=E,\left| A\right| \left| A^{-1}\right|=1$
- 若$A$可逆，$(A^{-1})^{-1}=A$
- 若$A$可逆且$k\neq 0$，$(kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$
- 若可逆矩阵$A,B$的乘积$AB$可逆，且有$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$（tips：不是$A^{-1}B^{-1}$）
- 若$A$可逆， 则$A^T$也可逆，且$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
2.6.3 求解矩阵的逆
2.6.3.1 伴随矩阵法
$n$阶行列式$\left| A\right|$的各个元素$a_{ij}$的代数余子式$A_{ij}$所构成的矩阵称为$A$的伴随矩阵。
Warning:$A_{ij}$会放在$ (j,i) $的位置上，最好先求$(A^{\ast})^T$再求$A^{\ast}$比较不会出错。
可以证明$AA^{\ast}=\left| A\right|E$，从而知$A^{-1}=\frac{A^{\ast}}{\left| A\right|}$
2.6.3.2 初等变换法
利用目标矩阵初等行变换（tips:只能进行初等行变换，不能进行初等列变换）与初等矩阵右乘目标矩阵的等价性，我们只需
即可得到目标矩阵的逆矩阵。
2.7 矩阵其他概念
2.7.1 子式
就是行列式子式概念的扩展。
矩阵的$k$阶子式：在矩阵$A_{m\times n}(m,n\geq k)$中，任取$k$行$k$列，其交点处的$k^2$个元素按原来的相对位置构成一个$k$阶行列式$M$，称为矩阵$A$的一个$k$阶子式。
2.7.2 矩阵的秩
矩阵$A$的秩记作$r(A)$，这个概念在4向量与矩阵的秩中是核心概念
2.7.3 矩阵的迹、特征值、特征向量与矩阵的半角化
方阵$A$的迹记作$tr(A)$，是方阵对角线上的和。
其他概念略。
这四个概念在6矩阵的特征值与二次型中是核心概念。
3 线性方程组
建议3线性方程组和4向量与矩阵的秩交叉来看。
3.1 核心概念定义
承继在1.5克拉默法则中所提到的，对于线性方程组（n未知量m个方程）
约定系数矩阵
矩阵（列向量）$b=(b_1,b_2,\cdots,b_m)^T,x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$
约定增广矩阵$B=(A,b)$
约定当$b=0$时称方程组为齐次线性方程组，否则称非齐次线性方程组。
线性方程组的等价表达：
- 第一种如本章开头
- 第二种$Ax=b$
- 第三种，将$A$按列分块得$A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$，方程可表示为$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=b$
方程的解也可以指解向量$x$。
方程组的等价指的是两个方程组的解的集合是一样的。
需要指出的是，对增广矩阵进行标准行变换后，相当于对第一种形式中的方程进行整体加减抵消，新方程组等价原方程组。我们可以利用这种记法（数学工具），更快速高效地对方程组进行处理。
3.2 线性方程组解的判定
一般来说，对于线性方程组解的判定，无论齐次还是非齐次，都有两种方法：
- 通用判定：用系数矩阵和增广矩阵的秩来判定
- 特殊判定（$n=m$时），用克拉默法则来判定
对于确定的增广矩阵，两者的速度因题而异（如果特殊判定能用的话）。但是克拉默法则没办法区分非齐次线性方程组的无穷解和无解。
但是对于增广矩阵中含有未知数并让你讨论时，很多时候通用判定会卡住，这时，特殊判定有很大优势。这能让你提前分好类进行讨论，不用纠结于初等行变换时行首是否为零的问题。
tips：如果要用通用判定，将增广矩阵做初等行变换至行阶梯形矩阵（行最简形矩阵更好），这样也方便下一步求解。
3.2.1 对于一般线性方程组
此一般包括齐次线性方程组。
通用判定如下：
- $r(A)<r(A,b)$，无解
- $r(A)=r(A,b)<n$，无穷解
- $r(A)=r(A,b)=n$，唯一解
特殊判定：仅当方程组的未知量数等于方程数时，即$A$是一个方阵时，由克拉默法则得：
- $\left| A\right| \neq 0$，方程组有唯一解。
- $\left| A\right| = 0$，方程组有无穷解或无解。
3.2.2 对于齐次线性方程组
对于齐次线性方程组，$x=0$这个解是确定的，这意味着$r(A)=r(A,b)$。
在使用通用判定时，只需对系数矩阵操作即可。
此时，方程组只有两种情况：
- 有唯一解，没有非零解。
- 有无穷解，有非零解。
这时，相较于一般线性方程组，我们能讨论得更细致些。
通用判定：
- $r(A)<n$，方程有无穷解
- $r(A)=n$，方程有唯一解
特殊判定：
仅当方程组的未知量数等于方程数时，即$A$是一个方阵时，由克拉默法则得：
- $\left| A\right| \neq 0$，方程组有唯一解，没有非零解。
- $\left| A\right| = 0$，方程组有无穷解，有非零解。
3.3 求解线性方程组
特殊方法（m=n）：使用克拉默法则（计算量不小）。
一般方法如下：
- 首先做初等行变换化简增广矩阵（齐次线性方程组就只用化简系数矩阵）。
- tips:如果化为行最简形矩阵，下面的求解会非常方便，因为只化为行阶梯形矩阵在下面要进行的求解实际上是将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵。
- 如果有未知量无法满足约束条件的，方程组无解。
- 如果方程组有唯一解的，就解呗。
- 如果方程组有无穷解的话，将会有$r(A)$个未知量失去约束，变为自由未知量，可以赋给它们一个字母（代表它们在任意值中取的数），代入约束的方程中，将剩下$n-r(A)$个非自由未知量用自由未知量表示出来。
3.4 线性方程组解的结构
首先你一定要去4向量与矩阵的秩去看看极大线性无关组了。
3.4.1 齐次线性方程组的解的结构及其基础解系
3.4.1.1 齐次线性方程组解的结构
若$\xi_1,\xi_2$都是$Ax=0$的解，则$k_1\xi_1+k_2\xi_2$（$k_1,k_2$为任意实数）也是它的解。
3.4.1.2 齐次线性方程组的基础解系
定义$Ax=0$的一个基础解系为它解向量构成的向量空间的一个极大线性无关组。这定义都写到第五章的东西了，复习写的嘛。
基础解系的性质：
- 该基础解系含有$n-r(A)$个向量
- 极大线性无关组的性质
- 基础解系不唯一
- 基础解系线性无关
- 其他性质等
对系数矩阵$A$进行初等行变换，一定可以得到
其中$r=r(A)$
3.4.1.3 求解基础解系
下面开始解出齐次线性方程组的基础解系：
- 若将解向量$x$表示为$(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$
- 取$\begin{pmatrix}
x_{r+1} \\ x_{r+2} \\ \vdots \\ x_n
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0
\end{pmatrix}
,\cdots
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1
\end{pmatrix}$ - 得$x=\begin{pmatrix}
-c_{1,r+1} \\ -c_{2,r+1} \\ \vdots \\ -c_{r,r+1} \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
-c_{1,r+2} \\ -c_{2,r+2} \\ \vdots \\ -c_{r,r+2} \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0
\end{pmatrix}
,\cdots,
\begin{pmatrix}
-c_{1,n} \\ -c_{2,n} \\ \vdots \\ -c_{r,n} \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1
\end{pmatrix}$共$n-r(A)$个解向量，一般记为$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$由极大线性无关组（向量的维度）部分无关，加长无关，知这些解线性无关。
向量组$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$称为$Ax=0$的一个基础解系。
3.4.1.4 齐次线性方程组的通解
齐次线性方程组的通解为其基础解系的线性组合，即$x=k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$。
3.4.2 非齐次线性方程组解的结构
原理：若$x_1,x_2$是$Ax=b$的解，则$x_1-x_2$是对应齐次方程组$Ax=0$的解。
解的结构：若$Ax=b$有解，其通解可表示为$x=\xi_0+\overline{\xi}$，其中$\xi_0$是$Ax=b$的一个特解，$\overline{\xi}=k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$是对应齐次线性方程组$Ax=0$的通解。
求解齐次线性方程组；
- 首先需要找出一个特解（越简单越好），记为$\xi_0$。
- 然后算出该一般线性方程组的导出（对应的齐次线性方程组）的基础解系，记为$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_r$
- 特解为$x=\xi_0+\overline{\xi}$，其中，$\overline{\xi}$是导出方程组的基础解系的线性组合，即$\overline{\xi}=k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$
4 向量与矩阵的秩
tips：未特殊说明的向量一律为实列向量
4.1 向量与向量组的关系
4.1.1 线性组合
对于给定向量组$A:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$与任意实数组$k_1,k_2,\cdots,k_n$，若有向量$\alpha$使得$\alpha=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n$，称向量$\alpha$为向量组$A$的线性组合，称该实数组为该线性组合的系数，称向量$\alpha$可被$A$线性表示
4.1.2 线性相关与线性无关
定义：
对向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$，若存存在不全为0的实数组$k_1,k_2,\cdots,k_n$使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0$，则称向量组线性相关；若只存在全为零的实数组使上式成立，则称向量组线性无关。
性质：
- 等价于齐次线性方程组$(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)
\begin{pmatrix}
k_1\\k_2\\
\vdots \\ k_n
\end{pmatrix}=0$是否有非零解 - n+1个n维向量一定线性相关
- （向量组向量维数）部分无关，加长无关；加长相关，部分相关
- （向量组个数）部分相关，整体相关；整体无关，部分无关
tips:证线性无关可以从矩阵可逆等概念入手，当然，从定义出发也是一个好的选择。
4.1.3 相关性与线性组合关系
- 向量组相关的充要条件使至少有1个向量可以由其余n-1个向量线性表示
- 若$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关，而$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta$线性相关，则$\beta$可以由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$唯一线性表示。
4.2 向量组间的关系
- 线性表示：若向量组A中任一向量可以被向量组B中的向量线性表示，则称A可以被B线性表示。
- 等价：若A和B可以互相线性表示，则称A与B等价，记为$A\sim B$
- 若向量组$B:\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$可被向量组$A:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性表示，则有$(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)
\begin{pmatrix}
k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1t}\\
k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2t}\\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
k_{s1} & k_{s2} & \cdots & k_{st}
\end{pmatrix}$，其中可知$\beta_i=k_{11}\alpha_1+k_{21}\alpha_2+\cdots+k_{s1}\alpha_s$。- 这个转化会在5线性空间中有更进一步的讨论
- 等价性的性质：自反、对称、传递
一些重要的性质：
- 若线性无关的向量组A可表示向量组B，则向量组A的向量数小于或等于向量组B的向量数
- 若两个向量组线性无关且等价，则两个向量组由相同的向量数目
- 若向量组B被线性无关的向量组A表示，且向量组B向量数目大于向量组A的向量数目，则B一定线性相关。
4.3 极大线性无关组及向量组的秩
4.3.1 极大线性无关组
4.3.1.1 极大线性无关组的定义
定义：若向量组$A:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$的一个部分组$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$线性无关且能线性表示A中的所有向量，则该部分组是向量组A的极大线性无关组。
4.3.1.2 极大线性无关组的性质
- 一个向量组线性无关等价于这个向量组是自己的极大线性无关组。
- 一个向量组A的一个极大线性无关组能唯一地线性表示该向量组A内的向量。
- 一个向量组A的线性无关部分组成为极大线性无关组的充要条件是该线性无关部分组能表示该向量组A中的全部向量。
- 一个向量组与它的所有极大线性无关组等价。
- 一个向量组的所有极大线性无关组之间等价，且个数均相同。
4.3.1.3 求解向量的极大线性无关组
- tips:与矩阵找最高阶非零子式类似。
- 以列向量为例：将向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$写成矩阵$(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$。
- 然后将矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵，取行阶梯形矩阵非零行第一个非零元所在列（共$r(A)$个）。
- 然后回到原矩阵，找出对应的列，它们就是向量组的极大线性无关组。
4.3.2 向量组的秩
向量组的极大线性无关组中向量的个数为该向量组的秩，记为$rank(A)$或$rank(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$，简记为$r(A)$或$r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$，零向量组成的向量组的秩为0
向量组秩的性质：
- $A$如果能被$B$线性表示，则$r(A) \le r(B)$
- $A\sim B$，则$r(A)=r(B)$
- $r(A)=r(B)$且$A$能被$B$线性表示，则$A\sim B$
- A线性无关当且仅当A的秩等于其向量数
4.4 向量组的秩与矩阵的秩
4.4.1 矩阵秩的定义
- 定义1：矩阵的秩等于行向量组的秩等于列向量组的秩
- 定义2：矩阵所拥有的最高阶非零子式的阶数
4.4.2 矩阵的秩的性质
这里的5到8都太难了，其实一般是不考的。
- 初等变换不改变矩阵的秩
- 矩阵的秩等于等价的行阶梯形矩阵的行数
- 设有$A_{m\times n}$，则$0\leq r(A)\leq \min(m,n)$
- 若$P,Q$可逆，则$r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A)$
- $r(A+B) \leq r(A)+r(B)$
- $\max(r(A),r(B))\leq r(A,B)\leq r(A)+r(B)$
- 设有矩阵$A_{m \times n},B_{n \times s}$，则有$r(A)+r(B)-n \leq r(AB) \leq \min(r(A),r(B))$
- 若$A_{m\times n}B_{n \times l}=0$，则$r(A)+r(B) \leq n$
- 若$A_{m\times n}B_{n \times l}=C$且$r(A)=n$，则$r(B)=r(C)$
求解矩阵的秩（求解矩阵最高阶非0子式）
- tips:与求向量极大线性无关组类似
- 将矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵，取行阶梯形矩阵非零行第一个非零元所在列（共$r(A)$个）。回到原矩阵，先去对应的$r(A)$列再任取$r(A)$行，找出原矩阵中最高阶非零子式
5 线性空间
最常见的考点是
- 基变换与坐标变换
- 正交化、求标准正交基
5.1 向量空间
- $n$维向量：$n$个数$a_1,a_2,\cdots,a_n$组成的有序数组称为$n$维向量。
- 排成一行，称为$n$维行向量
- 排成一列，称为$n$维列向量
- 行向量和列向量都表示同一个$n$维向量。
- $n$维基本向量：$n$维列向量$\epsilon_1=(1,0,\cdots,0)^T,\epsilon_2=(0,1,\cdots,0)^T,\cdots,\epsilon_n=(0,0,\cdots,1)^T$称为$n$维基本向量。
- 向量的线性运算：向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算。
- n维向量空间：
- 设$V$是数域$F$上所有$n$维向量构成的集合，且对于向量的线性运算封闭，即
- $\forall \alpha,\beta \in V$，有$\alpha+\beta \in V$。
- $\forall \alpha \in V, k \in F$，有$k\alpha \in F$。
- 称集合$V$维数域$F$上的$n$维向量空间，记为$F^n$。
- 特别地，当$F$为是实数域$R$时，称集合$V$为实数域$R$上的$n$维实向量空间，记为$R^n$。
- 设$V$是数域$F$上所有$n$维向量构成的集合，且对于向量的线性运算封闭，即
- 子空间：
- 设$V$为数域$F$上$n$维向量的非空集合，即$V$时$F^n$的非空子集，若$V$对$F^n$中定义的加法和数乘运算封闭，即
- $\forall \alpha,\beta \in V$，有$\alpha+\beta \in V$。
- $\forall \alpha \in V, k \in F$，有$k\alpha \in F$。
- 则称$V$为$F^n$的子空间，也称$V$是数域$F$上的向量空间。
- 设$V$为数域$F$上$n$维向量的非空集合，即$V$时$F^n$的非空子集，若$V$对$F^n$中定义的加法和数乘运算封闭，即
5.2 线性空间
现在推广向量空间，将其中的向量换成多项式、矩阵等东西，得到线性空间：
- 设$V$是一个非空集合，$F$是一个数域。
- 定义加法和数乘：
- 定义加法：对于$\forall x,y \in V$，存在唯一的$z$与它们对应，称为$x$和$y$的和，记为$z=x+y$。
- 定义数乘：对于$\forall \lambda \in F, \forall x \in V$，存在唯一的$y$与它们对应，称为$\lambda$与$x$的数量乘积，记为$y=\lambda x$。
- 定义线性空间：
- 若$V$和$F$满足如下特点（其中$\lambda,\mu \in F, x,y,z\in V$）：
- 加法4点：
- $x+y=y+x$
- $(x+y)+z=x+(y+z)$
- $\exists \theta \in V$，使得$\forall x \in V$，都有$x+\theta=x$。（将具有这个性质的元素$\theta$称为$V$的零元素，也记为$0$）
- $\forall x \in V, \exists y \in V$，使得$x+y=\theta$（$y$称为$x$的负元素，记为$-x$）
- 数乘2点：
- $F$中必须有数$1$，使得$1x=x$
- $\lambda(\mu x)=(\lambda\mu)x$
- 数乘与加法结合2点：
- $(\lambda+\mu)x=\lambda x+\mu x$
- $\lambda (x+y)=\lambda x + \lambda y$
- 加法4点：
- 则称$V$为数域$F$上的线性空间。
- 若$V$和$F$满足如下特点（其中$\lambda,\mu \in F, x,y,z\in V$）：
- 因为线性空间是向量空间$R^n$的推广，把线性空间仍称为向量空间，其中的元素仍称为向量。
- $F$中的数称为数或标量，$V$称为线性空间的基集。
常见的线性空间的记号有：
- $F^n$：数域$F$上$n$维向量空间。
- $R^n$：$n$维实向量空间。
- $C^n$：$n$维复向量空间。
- $F^{m\times n}$：元素属于数域$F$的$m\times n$矩阵按矩阵的加法和数乘构成一个数域$F$上的线性空间。
- $R^{m\times n}$：$m\times n$阶实矩阵空间。
- $C^{m\times n}$：$m\times n$阶复矩阵空间。
- $F[x]$：数域$F$上全体一元多项式的集合按通常的多项式加法以及多项式数乘构成的数域$F$上的线性看空间。
- $F[x]_n$：数域$F$上次数小于$n$的多项式（包含零多项式）的多项式空间。
- $R[x]_n$：数域$R$上次数小于$n$的多项式空间。
- $C[x]_n$：数域$C$上次数小于$n$的多项式空间。
- $F[x]_n$：数域$F$上次数小于$n$的多项式（包含零多项式）的多项式空间。
线性空间的性质：
- 零元素唯一
- 负元素唯一，可以定义减法，以及定义减法与数乘结合的运算律
- 对于$\alpha\in V,k\in F$，由$k\alpha=\theta$可得$k=0$或$\alpha=\theta$。
5.3 线性子空间
定义：
- 设$S$是数域$F$上的线性空间$V$的一个非空子集，如果$S$对于$V$中定义的加法和数乘两种运算也构成数域$F$上的线性空间，则称$S$为$V$的一个线性子空间或子空间
线性子空间与齐次线性方程组：
- 设$A\in F^{m\times n}$，则齐次线性方程组$Ax=0$的解集$S=\{ x \vert Ax=0 \}$是$F^n$的一个子空间，称为齐次线性方程组$Ax=0$的解空间。
- 当$Ax=0$只有零解时，解空间只有零向量，这个解空间被称为零子空间。
- 一般称零子空间和线性空间本身为$V$的平凡子空间，其他的子空间称为非平凡子空间。
线性子空间有关的性质：
- 子空间的等价：对于$S\subseteq V$，使得$S$成为$V$的子空间的充要条件时$S$关于$V$中定义的加法和数乘运算封闭。
- 生成的子空间：对于$S\subseteq V$，$S$中一切向量的所有线性组合构成的集合$W=\{k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m \vert \alpha_i \in S, i=1,2,\cdots,m \}$，是$V$包含$S$的最小的子空间。
此时，称$W$是$S$生成的子空间，或称$S$生成$W$。 - 子空间的交：对于$V$的两个子空间$V_1,V_2$，它们的交集$V_1\cap V_2$是$V$的子空间。
- 子空间的和；对于$V$的两个子空间$V_1,V_2$，定义它们的和$\{\alpha+\beta | \alpha \in V_1, \beta \in V_2 \}$，记作$V_1+V_2$。（tips：$V_1 \cup V_2$并不总是构成一个线性空间，所以这么定义是没用的）
并且，$V_1+V_2$是$V$的子空间。
5.4 线性空间中的基和坐标
个人理解：基和坐标是广义向量与狭义向量建立联系的工具。
5.4.1 相关定义
- 扩大化的线性无关的定义：
- 设$V$是在数域$F$上的线性空间，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$是$V$中的一组向量，若在$F$中存在一组不全为零的数$k_1,k_2,\cdots,k_n$，使得
$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0$，则称向量组线性相关，否则称向量组线性无关。 - 省流：原本线性无关概念中的向量更抽象，原本在实数中任取数变为在$F$中取。
- 设$V$是在数域$F$上的线性空间，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$是$V$中的一组向量，若在$F$中存在一组不全为零的数$k_1,k_2,\cdots,k_n$，使得
- 基和维数的定义：
- 如果线性空间$V$中有$n$个线性无关的向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$，并且$V$中任意向量是$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$
的线性组合，那么称$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$为$V$的一组基。 - 向量组的大小$n$称为$V$的维数，记为$dim V=n$，此时$V$被称为$n$维线性空间。
- 如果在$V$中可以找到无限多个线性无关的向量，则称$V$为无限维空间。
- 如果线性空间$V$中有$n$个线性无关的向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$，并且$V$中任意向量是$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$
- 坐标的定义：
- 设$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$是线性空间$V$的一组基，对于$\forall \alpha \in V$，都可以被$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$
唯一线性表示：$\alpha=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n$。 - 这组数$k_1,k_2,\cdots,k_n$是由基和向量唯一确定的，这组数就记为$\alpha$在$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$下的坐标，记为$(k_1,k_2,\cdots,k_n)^T$
- 设$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$是线性空间$V$的一组基，对于$\forall \alpha \in V$，都可以被$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$
5.4.2 基变换与坐标变换
5.4.2.1 基变换
给定线性空间$V$的两组基$x_1,x_2,\cdots,x_n$和$y_1,y_2,\cdots,y_n$。
由向量组线性表示的知识，知
使
记$P$为由基$x_1,x_2,\cdots,x_n$到基$y_1,y_2,\cdots,y_n$的过渡矩阵
性质：
- 若$x_1,x_2,\cdots,x_n$是线性空间$V$的一组基，对于向量组$y_1,y_2,\cdots,y_n$满足：$(y_1,y_2,\cdots,y_n)=(x_1,x_2,\cdots,x_n)P$
- 则$y_1,y_2,\cdots,y_n$是一组基$\iff P$是可逆矩阵。
方法tips：怎么求过渡矩阵呢？直接求$(x_1,x_2,\cdots,x_n)^{-1}$，再通过$P=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^{-1}(y_1,y_2,\cdots,y_n)$得到过渡矩阵。
5.4.2.2 坐标变换
- 线性空间$V$中，向量$\alpha$在两组基$x_1,x_2,\cdots,x_n$和$y_1,y_2,\cdots,y_n$下的表示分别为 $x=(a_1,a_2,\cdots,a_n)^T,y=(b_1,b_2,\cdots,b_n)^T$
- 设基$x_1,x_2,\cdots,x_n$到基$y_1,y_2,\cdots,y_n$的过渡矩阵为$P$
- 有$x=Py$或$y=P^{-1}x$
5.5 线性变换及其矩阵表示
不怎么考，略了
5.6 内积空间
5.6.1 内积空间及其基本定义与性质
定义：
- 定义抽象的内积：
- $V$是$R$上的线性空间，对于$\alpha,\beta \in V$，定义内积运算使之对应于一个实数，记为$(\alpha,\beta)$。
- 其满足下列条件（其中$\alpha,\beta,\gamma \in V, \lambda \in R$）：
- $(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)$
- $(\lambda \alpha,\beta)=\lambda(\alpha,\beta)$
- $(\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)$
- $(\alpha,\alpha)\geq 0$，且$(\alpha,\alpha)=0$当且仅当$\alpha=0$
- 定义内积空间：定义了内积运算的实线性空间被称为内积空间或欧几里得空间。
- $R^n$上的标准内积：即我们一般认识的内积。
- 在$R^n$中，对于$\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)^T,\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)^T$规定
- $(\alpha,\beta)=\sum\limits_{k=1}^na_kb_k$
- 也可以写为$(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)=\alpha^T\beta=\beta^T\alpha$
- 定义向量长度：向量的长度定义为$\vert\vert\alpha\vert\vert=\sqrt{(\alpha,\alpha)}$
- 定义标准向量：长度为1的向量称为单位向量。
- 定义向量间夹角：$<\alpha,\beta>=arccos\frac{(\alpha,\beta)}{\vert\vert\alpha\vert\vert\space\vert\vert\beta\vert\vert}$
- 定义向量正交或垂直：若$<\alpha,\beta>=\frac{\pi}{2}$，则称$\alpha$与$\beta$垂直或正交，记为$\alpha\perp\beta$
性质：
- $(\sum\limits_{i=1}^sx_i\alpha_i,\sum\limits_{j=1}^ty_i\beta_i)=\sum\limits_{i=1}^s\sum\limits_{j=1}^tx_iy_j(\alpha_i,\beta_j)$
- $\vert(\alpha,\beta)\vert\leq\vert\vert\alpha\vert\vert\space\vert\vert\beta\vert\vert$
- 证法：利用$(\alpha+t\beta,\alpha+t\beta)\geq 0$，使用一元二次方程判别式。
5.6.2 正交化与标准正交基
定义：
- 定义正交向量组：内积空间$V$中的非零向量组两两正交，则称该向量组为正交向量组。
- 定义标准正交向量组：在正交向量组的基础上，如果向量组内的每一个向量都是单位向量，则称该向量组为标准正交向量组。
- 定义标准正交基；
- 设$V$为$n$维内积空间，对$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n \in V$，若$(\alpha_i,\alpha_j)=\begin{cases}1,i=j \\ 0,i\neq j \end{cases}$，称$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$为$V$的一组标准正交基。
- 标准正交基不唯一。
施密特正交化方法：
- 目标：有一组线性无关的$n$维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m(m\leq n)$，
求一个标准正交向量组$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$，
使其满足$\forall i\leq m$，都有向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_i$与$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_i$等价。 - 第一步：正交化：
- $\beta_1=\alpha_1$
- $\beta_j=\alpha_j-\frac{(\alpha_j,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_j,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2-\cdots-\frac{(\alpha_j,\beta_{j-1})}{(\beta_{j-1},\beta_{j-1})}\beta_{j-1}(j=2,3,\cdots,m)$
- 有线性无关向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$化为了正交向量组$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$
- 第二步：单位化：
- 即取$\eta_j=\frac{\beta_j}{\vert\vert\beta_j\vert\vert},j=1,2,\cdots,m$
6 矩阵的特征值与二次型
6.1 矩阵的特征值与特征向量
- 特征值与特征向量定义：设$A$是$n$阶矩阵，若存在数$\lambda$和$n$维非零向量$x$，使$Ax=\lambda x$，称$\lambda$为矩阵$A$的特征值，称$x$使矩阵$A$对应于特征值$\lambda$的一个特征向量。
- $\vert\lambda E-A\vert$称为特征多项式，$\lambda E-A$称为特征矩阵，$\vert\lambda E-A\vert=0$称为特征方程。
tips:特征向量是非零的，但是特征值可能为0。
求解特征值与特征向量：（已知$n$阶矩阵$A=(a_{ij})$）
- 特征值：求解特征方程$\vert\lambda E-A\vert=0$，从中解出$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$
- 再代入不同的特征值$\lambda_i$，求出方程组$(\lambda E - A)x=0$的所有非零解，即$A$对应于$\lambda_i$的全部特征向量。
特征值与特征向量的特点：（对于同一个$n$阶方阵，特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m(m\leq n)$）
- 一个特征向量不能对应于不同的特征值
- 矩阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的
- $t$重特征值最多有$t$个线性无关的特征向量。
- $\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_m=a_11+a_22+\cdots+a_nn=tr(A)$
- $\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_m=\vert A\vert$
- $A$与$A^T$的特征值相同
- 若$\lambda$是方阵$A$的特征值，则$f(\lambda)$是$f(A)$的特征值，对应的特征向量不变。下面是例子
- $k\lambda$是$kA$的特征值
- $\lambda^m$是$A^m$的特征值
- $A$可逆时，$\lambda^{-1}$是$A^{-1}$的特征值
- $\lambda^2 + 3\lambda+1$是$A^2+3A+1$的特征值
6.2 矩阵可对角化的条件
6.2.1 矩阵相似
- 对于矩阵$A,b$，若存在可逆矩阵P使得$B=P^{-1}AP$，则称$A$与$B$相似（就是矩阵初等变换里的等价关系），记为$A\sim B$。
- 相似的矩阵特征值相同，迹相同，秩相同，但特征值相同不能推出相似。
- 相似有自反性、对称性和传递性。
- 由$A\sim B$，得$A^T\sim B^T,kA\sim kB,A^m\sim B^m, f(A)\sim f(B)$，其中$f(x)$是多项式
- tips:相似矩阵得特征向量不同。
6.2.2 矩阵对角化得条件
- $n$阶矩阵$A$对角化得充要条件是$A$有$n$个线性无关的特征向量。
- 若$n$阶矩阵$A$有$n$个特征值，则$A$可以对角化
- $A$可以对角化等价于$A$的每个多重特征值对应的特征方程都有该特征值重数个向量的基础解系。
6.2.3 可对角化矩阵的对角化方法
有一个可对角化的矩阵$A$：
- 求出全部的特征值
- 对每一个特征值，解出对应特征方程的基础解系，得到n个线性无关的特征向量。
- 对n个特征向量一起进行正交化、单位化。
- 将这$n$个特征向量排成正交矩阵$P$，便有$P^{-1}AP=\Lambda$
- 注：$\Lambda$中对角元的排列次序于$P$中列向量的排列次序相对应。
6.3 实对称矩阵的对角化
补充：正交矩阵是由单位正交基构成的矩阵，最重要的特点是$A^T=A^{-1}$
- 实对称矩阵的特征值都为实数
- 实对称矩阵对应于不同向量的特征向量是正交的
- 实对称矩阵每一个多重特征值对应的特征方程都有该特征值重数个向量的基础解系。
- 实对称矩阵一定能对角化
- 实对称矩阵$A$对角化方法
- 求出全部的特征值
- 对每一个特征值，解出对应特征方程的基础解系并进行正交化、单位化。最终得到$n$个两两正交的单位特征向量。
- 将这$n$个特征向量排成正交矩阵$P$，便有$P^{-1}AP=\Lambda$
- 注：$\Lambda$中对角元的排列次序于$P$中列向量的排列次序相对应。
6.4 二次型及其标准形
6.4.1 二次型及其矩阵表示
二次型就是含有$n$个变量$x_1,x_2,\cdots,x_n$二次齐次多项式，可以用如下形式表示：
其中：
$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$，$A$为$n$阶方阵。
为了方便和唯一性，约定$A$为对称矩阵。
称$A$为二次型$f$的矩阵，$f$为对称矩阵$A$的二次型，对称矩阵$A$的秩称为二次型$f$的秩。
6.4.2 满秩、降秩线性变换
对于$x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T,y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^T$间的线性变换$x=Cy$
- 若$C$为可逆矩阵，则该线性变换称为满秩线性变换或可逆线性变换或非退化线性变换
- 若$C$不可逆，则该线性变换称为降秩线性变换或退化线性变换
6.4.3 矩阵的合同
- $A,B$均为$n$阶矩阵，若有可逆矩阵$C$使得$B=C^TAC$，则称矩阵$A,B$合同，记为$A\simeq B$
- 若二次型$f=x^TAx$经过可逆线性变换$x=Cy$变为以$B=C^TAC$为矩阵的二次型$f=x^TBx$，即矩阵$B$与$A$合同。
合同的性质：
- 自反、对称、传递
- 若$A\simeq B$，则$r(A) = r(B)$
- 若$A\simeq B$且$A^T=A$，则$B^T=B$
- 若$A^T=A$，一定存在$B=diag(\cdots)$，使得$A\simeq B$。
6.4.4 二次型的标准形
若能将二次型化为只有平方项的形式，则该形式被称为二次型的标准形。
方法：
- 配方法
- 若二次型中无平方项，作非退化线性变换
- 先找到平方项，比如是$kx_i^2$，把含有$x_i$的乘积集中配到一个方里，再对剩下的变量同样进行，直到得到都为平方的式子，再通过非退化线性变换得到标准形。
- 正交变换法
- 即对二次型的矩阵进行对角化，因为二次型的矩阵是对称矩阵，所以一定可以对角化，且对角化中构造的是正交矩阵，该矩阵的逆等于该矩阵的转置，所以此时不仅是相似同时也是合同。
- 所以像对实对称矩阵对角化一样操作即可，构造出来的正交矩阵同时作为线性变换的矩阵。
- 优点：保证线性变化前后两个向量的长度是一样的。
- 初等变换法：
- 利用初等变换与初等矩阵的等价性。
- 对$\begin{pmatrix}A \\ E \end{pmatrix}$整体进行初等列变换，同时只对$A$进行同样类型的初等行变换。即$\begin{pmatrix}A \\ E \end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}C^TAC \\ C \end{pmatrix}$
6.4.5 惯性定理和二次型的规范形
惯性定理：无论对二次型进行怎样的满秩线性变换使之化为标准形，其中正平方项的个数和负平方项的个数都是始终不变的。
其中，称正平方项的个数为正惯性指数，负平方项的个数为负惯性指数。
二次型的规范形：将二次型的标准形的每个二次项前面的系数的绝对值变为1就是二次型的规范形了。
6.4.6 实二次型的正定性
若二次型$f=x^TAx$，对于$\forall x\neq 0$，都有$f(x)>0$，则称$f$为正定二次型。
同样的，也有负定二次型。
二次型是正定二次型，则二次型的矩阵称为正定矩阵
二次型是正定二次型（二次型的矩阵为正定矩阵）的充要条件为：
- 定义：$\forall x \neq 0, f(x)>0$恒成立
- $A$的正惯性指数为$n$
- 存在可逆矩阵$P$，使$A=P^TP$，即$A\simeq E$
- $A$的特征值全为正数
- $A$的顺序主子式均大于0
二次型是正定二次型，可以推出：
- $\vert A\vert > 0$
- $a_{ii}>0$
半正定矩阵：$x^TAx\geq 0$，且存在$x\neq 0$使$x^TAX=0$。半负定矩阵类似。
7 杂的题型
- 求$A^n$
- 直接算$A^2,A^3,\cdots$找规律，并用数学归纳法证明
- 若$A=kE+B,B^3=0$，则$A^n=(kE+B)^n$用二项式定理展开
- 若$A=\alpha\beta^T$,$\alpha,\beta$是列向量，设$k=(\alpha,\beta)=\beta^T\alpha$，则$A^n=k^{n-1}A$